Un enigma sólo para sabios...

[jachguate]

Pues en el caso anterior, al menos se conocia el producto... pero ahora

[haron]

es facil.

al salir los dos ancianos de sus respectivos calabozos aparte de las palabras, se intercambiaron unos papelitos donde escribieron la suma y el producto de los jodidos numeros secretos, que los habian mantenidos aislados a pan y agua durante dos meses.

calculadora en mano, decidieron resolver el siguiente sistema:

x + y = a
x * y = b

donde "a" y "b" son numeros conocidos.
despejando la "y" tenemos

x^2 - a*x + b = 0

las dos soluciones de esta ecuacion son los numeros secretos "x" e "y".

inmediatamente se dieron cuenta de que las soluciones no eran numeros enteros, lo que quiere decir que el rey se los habia inventado al vuelo y ahora mismo se estaba descojonando de risa.

[roman]

Bueno, pero resulta que hay varias de estas ecuaciones cuyas soluciones son números enteros distintos entre 1 y 25. Dos ejemplos (entre otros)

x^2 - 10x + 21 = 0 (sol: 3, 7)
x^2 - 8x + 15 = 0 (sol: 3, 5)

// Saludos

[jachguate]

Pero vos estas asumiendo que y = 0... y no veo de donde sacas tal idea...

En todo caso la ecuación

y = x^2 - ax + b

nos describe las posibles soluciones...

[roman]

Empezado por jachguate

Pero vos estas asumiendo que y = 0... y no veo de donde sacas tal idea...

No sé a quién te refieres pero nadie esta suponiendo que y = 0. Lo que sucede es que una ecuación de la forma

x^2 - sx + p = 0

tendrá siempre dos soluciones distintas si s^2 > 4p

[jachguate]

pero quien dice que x^2 - ax + b = 0 en este caso??

del despeje de variables hecho por haron, queda que

x^2 - ax + b = y, pero no tenemos ningun motivo para suponer que y = 0, por lo tanto, tampoco podemos suponer que x^2 - ax + b = 0, en todo caso...

x^2 - ax + (b - y) = 0...

Hasta luego.

[roman]

A ver, a ver. No nos confundamos.

haron simplemente está estableciendo un hecho conocido del álgebra:

Cualquier par de números cuya suma sea a y cuyo producto sea b serán raíces de la ecuación cuadrática:

x^2 - ax + b = 0 (*)

Demostración:

Sean g y h tales que

g + h = a (1)
gh = b (2)

despejando h de (2): h = b/g
sustituyendo h en (1): g + b/g = a (3)
multiplicando (3) por g: g^2 + b = ag
reordenando: g^2 - ag + b = 0
de donde vemos que g es raíz de (*)

Análogamente, si comenzamos despejando g de (2) llegaremos a que h es raíz de (*)

[jachguate]

ups..

un pequeño lapsus...

[Amilius]

Empezado por roman

x^2 - ax + b = 0 (*)

Bueno ya tienen una ecuación, claro que teniendo 3 incógnitas...

Los números que escogio el rey son números enteros [1..25] si lo prefieren.


P.D.

Los ancianos NO SE PASARON PAPELITOS , ya que sabían que lo decapitarían al menor intento. Este es un problema tanto aritmético como lógico.